Apļveida kustība. Vienmērīga kustība riņķī Punkta kustība apļa kustības raksturojums

Tā kā lineārais ātrums vienmērīgi maina virzienu, apļveida kustību nevar saukt par vienmērīgu, tā ir vienmērīgi paātrināta.

Leņķiskais ātrums

Izvēlēsimies punktu uz apļa 1 . Veidosim rādiusu. Laika vienībā punkts pārvietosies uz punktu 2 . Šajā gadījumā rādiuss raksturo leņķi. Leņķiskais ātrums ir skaitliski vienāds ar rādiusa griešanās leņķi laika vienībā.

Periods un biežums

Rotācijas periods T- tas ir laiks, kurā ķermenis veic vienu apgriezienu.

Rotācijas frekvence ir apgriezienu skaits sekundē.

Biežums un periods ir savstarpēji saistīti ar attiecībām

Saistība ar leņķisko ātrumu

Lineārais ātrums

Katrs apļa punkts pārvietojas ar noteiktu ātrumu. Šo ātrumu sauc par lineāru. Lineārā ātruma vektora virziens vienmēr sakrīt ar riņķa pieskari. Piemēram, dzirksteles no slīpmašīnas pārvietojas, atkārtojot momentānā ātruma virzienu.

Apsveriet punktu uz apļa, kas veic vienu apgriezienu, pavadītais laiks ir periods T. Ceļš, ko šķērso punkts, ir apkārtmērs.

Centripetālais paātrinājums

Pārvietojoties pa apli, paātrinājuma vektors vienmēr ir perpendikulārs ātruma vektoram, vērsts uz apļa centru.

Izmantojot iepriekšējās formulas, mēs varam iegūt šādas attiecības

Punktiem, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas, kas izplūst no apļa centra (piemēram, tie varētu būt punkti, kas atrodas uz riteņa spieķiem), būs vienādi leņķiskie ātrumi, periods un frekvence. Tas ir, tie griezīsies vienādi, bet ar atšķirīgu lineāro ātrumu. Jo tālāk punkts atrodas no centra, jo ātrāk tas pārvietosies.

Ātrumu saskaitīšanas likums ir spēkā arī rotācijas kustībai. Ja ķermeņa vai atskaites sistēmas kustība nav vienmērīga, tad likums attiecas uz momentānajiem ātrumiem. Piemēram, cilvēka ātrums, kas iet gar rotējoša karuseļa malu, ir vienāds ar karuseļa malas lineārā griešanās ātruma un cilvēka ātruma vektoru summu.

Zeme piedalās divās galvenajās rotācijas kustībās: diennakts (ap savu asi) un orbitālā (ap Sauli). Zemes rotācijas periods ap Sauli ir 1 gads jeb 365 dienas. Zeme griežas ap savu asi no rietumiem uz austrumiem, šīs rotācijas periods ir 1 diena jeb 24 stundas. Platums ir leņķis starp ekvatora plakni un virzienu no Zemes centra līdz punktam uz tās virsmas.

Saskaņā ar otro Ņūtona likumu jebkura paātrinājuma cēlonis ir spēks. Ja kustīgs ķermenis piedzīvo centripetālu paātrinājumu, tad spēku, kas izraisa šo paātrinājumu, raksturs var būt atšķirīgs. Piemēram, ja ķermenis pārvietojas pa apli pa tam piesietu virvi, tad iedarbīgais spēks ir elastīgais spēks.

Ja ķermenis, kas atrodas uz diska, griežas kopā ar disku ap savu asi, tad šāds spēks ir berzes spēks. Ja spēks aptur savu darbību, tad ķermenis turpinās kustēties taisnā līnijā

Apsveriet apļa punkta kustību no A līdz B. Lineārais ātrums ir vienāds ar vA Un pret B attiecīgi. Paātrinājums ir ātruma izmaiņas laika vienībā. Noskaidrosim atšķirību starp vektoriem.

Apļveida kustība ir vienkāršākais ķermeņa izliekuma kustības gadījums. Ķermenim pārvietojoties ap noteiktu punktu, kopā ar nobīdes vektoru ir ērti ievadīt leņķisko nobīdi ∆ φ (griešanās leņķis attiecībā pret apļa centru), ko mēra radiānos.

Zinot leņķisko nobīdi, var aprēķināt apļveida loka (ceļa) garumu, ko ķermenis ir šķērsojis.

∆ l = R ∆ φ

Ja griešanās leņķis ir mazs, tad ∆ l ≈ ∆ s.

Ilustrēsim teikto:

Leņķiskais ātrums

Ar līknes kustību tiek ieviests leņķiskā ātruma ω jēdziens, tas ir, griešanās leņķa izmaiņu ātrums.

Definīcija. Leņķiskais ātrums

Leņķiskais ātrums dotajā trajektorijas punktā ir leņķiskās nobīdes ∆ φ attiecības robeža ar laika intervālu ∆ t, kurā tas noticis. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Leņķiskā ātruma mērvienība ir radiāns sekundē (r a d s).

Pastāv saistība starp ķermeņa leņķisko un lineāro ātrumu, pārvietojoties pa apli. Formula leņķiskā ātruma noteikšanai:

Vienmērīgi kustoties aplī, ātrumi v un ω paliek nemainīgi. Mainās tikai lineārā ātruma vektora virziens.

Šajā gadījumā vienmērīga kustība aplī ietekmē ķermeni ar centripetālu jeb normālu paātrinājumu, kas virzīts pa apļa rādiusu uz tā centru.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Centrpetālā paātrinājuma moduli var aprēķināt, izmantojot formulu:

a n = v 2 R = ω 2 R

Pierādīsim šīs attiecības.

Apskatīsim, kā vektors v → mainās īsā laika periodā ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .

Punktos A un B ātruma vektors ir vērsts tangenciāli uz apli, savukārt ātruma moduļi abos punktos ir vienādi.

Pēc paātrinājuma definīcijas:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Apskatīsim attēlu:

Trijstūri OAB un BCD ir līdzīgi. No tā izriet, ka O A A B = B C C D .

Ja leņķa ∆ φ vērtība ir maza, attālums A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Ņemot vērā, ka O A = R un C D = ∆ v līdzīgiem iepriekš apskatītajiem trīsstūriem, iegūstam:

R v ∆ t = v ∆ v vai ∆ v ∆ t = v 2 R

Kad ∆ φ → 0, vektora ∆ v → = v B → - v A → virziens tuvojas virzienam uz apļa centru. Pieņemot, ka ∆ t → 0, mēs iegūstam:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

Vienmērīgi kustoties ap apli, paātrinājuma modulis paliek nemainīgs, un vektora virziens laika gaitā mainās, saglabājot orientāciju uz apļa centru. Tāpēc šo paātrinājumu sauc par centripetālu: vektors jebkurā laika brīdī ir vērsts uz apļa centru.

Centrpetālā paātrinājuma ierakstīšana vektora formā izskatās šādi:

a n → = - ω 2 R → .

Šeit R → ir tāda apļa punkta rādiusa vektors, kura izcelsme atrodas tā centrā.

Kopumā paātrinājums, pārvietojoties pa apli, sastāv no diviem komponentiem - normālā un tangenciālā.

Apskatīsim gadījumu, kad ķermenis ap apli pārvietojas nevienmērīgi. Ieviesīsim tangenciālā (tangenciālā) paātrinājuma jēdzienu. Tā virziens sakrīt ar ķermeņa lineārā ātruma virzienu un katrā apļa punktā ir vērsts tam pieskares.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Šeit ∆ v τ = v 2 - v 1 - ātruma moduļa izmaiņas intervālā ∆ t

Kopējā paātrinājuma virzienu nosaka normālā un tangenciālā paātrinājuma vektoru summa.

Apļveida kustību plaknē var aprakstīt, izmantojot divas koordinātas: x un y. Katrā laika momentā ķermeņa ātrumu var sadalīt komponentos v x un v y.

Ja kustība ir vienmērīga, lielumi v x un v y, kā arī atbilstošās koordinātas laika gaitā mainīsies saskaņā ar harmonikas likumu ar periodu T = 2 π R v = 2 π ω

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Apļveida kustība ir īpašs izliektas kustības gadījums. Ķermeņa ātrums jebkurā līknes trajektorijas punktā ir vērsts tam tangenciāli (2.1. att.). Šajā gadījumā ātrums kā vektors var mainīties gan lielumā (lielumā), gan virzienā. Ja ātruma modulis paliek nemainīgs, tad runājam par vienmērīga izliekta kustība.

Ļaujiet ķermenim pārvietoties pa apli ar nemainīgu ātrumu no punkta 1 uz punktu 2.

Šajā gadījumā ķermenis laikā t veiks ceļu, kas vienāds ar loka garumu ℓ 12 starp punktiem 1 un 2. Tajā pašā laikā rādiusa vektors R, kas novilkts no apļa 0 centra līdz punktam, griezīsies leņķī Δφ.

Ātruma vektors punktā 2 atšķiras no ātruma vektora punktā 1 par virziens pēc vērtības ΔV:

;

Lai raksturotu ātruma vektora izmaiņas ar vērtību δv, mēs ieviešam paātrinājumu:

(2.4)

Vektors jebkurā trajektorijas punktā, kas vērsta pa rādiusu Rк centrs aplis, kas ir perpendikulārs ātruma vektoram V 2. Tāpēc paātrinājums , kas raksturo ātruma izmaiņas līknes kustības laikā virzienā sauc centripetāls vai normāls. Tādējādi punkta kustība pa apli ar nemainīgu absolūto ātrumu ir paātrināta.

Ja ātrums mainās ne tikai virziens, bet arī modulis (lielums), tad papildus parastajam paātrinājumam viņi arī iepazīstina tangenss (tangenciāls) paātrinājums , kas raksturo ātruma izmaiņas lielumā:

vai

Virzīts vektors pa tangenti jebkurā trajektorijas punktā (t.i., sakrīt ar vektora virzienu ). Leņķis starp vektoriem Un vienāds ar 90 0.

Punkta, kas pārvietojas pa izliektu ceļu, kopējais paātrinājums tiek definēts kā vektora summa (2.1. att.).

.

Vektoru modulis
.

Leņķiskais ātrums un leņķiskais paātrinājums

Kad materiālais punkts pārvietojas apkārtmērā Rādiusa vektors R, kas novilkts no apļa O centra līdz punktam, griežas pa leņķi Δφ (2.1. att.). Lai raksturotu rotāciju, tiek ieviesti leņķiskā ātruma ω un leņķiskā paātrinājuma ε jēdzieni.

Leņķi φ var izmērīt radiānos. 1 rad ir vienāds ar leņķi, kas balstās uz loka ℓ vienāds ar apļa rādiusu R, t.i.

vai ℓ 12 = Rφ (2.5.)

Diferencēsim vienādojumu (2.5.)

(2.6.)

Vērtība dℓ/dt=V momentā. Tiek izsaukts lielums ω =dφ/dt leņķiskais ātrums(mēra rad/s). Iegūsim sakarību starp lineāro un leņķisko ātrumu:

Lielums ω ir vektors. Vektora virziens noteikts skrūvju noteikums: tas sakrīt ar skrūves kustības virzienu, orientēts pa punkta vai ķermeņa rotācijas asi un pagriezts korpusa griešanās virzienā (2.2. att.), t.i.
.

Leņķiskais paātrinājumssauc par leņķiskā ātruma (momentānā leņķiskā paātrinājuma) vektora daudzuma atvasinājumu.

, (2.8.)

Vektors sakrīt ar rotācijas asi un ir vērsta tajā pašā virzienā kā vektors , ja rotācija ir paātrināta, un pretējā virzienā, ja griešanās ir lēna.

Ātrumsnķermeņus laika vienībā saucrotācijas ātrums .

Tiek saukts laiks T vienam pilnam ķermeņa apgriezienamrotācijas periods . KurāRapraksta leņķi Δφ=2π radiāni

Ar to teikto

, (2.9)

Vienādojumu (2.8) var uzrakstīt šādi:

(2.10)

Tad paātrinājuma tangenciālā sastāvdaļa

un  =R(2,11)

Normālo paātrinājumu a n var izteikt šādi:

ņemot vērā (2.7) un (2.9)

(2.12)

Pēc tam pilns paātrinājums.

Rotācijas kustībai ar nemainīgu leņķisko paātrinājumu , mēs varam uzrakstīt kinemātisko vienādojumu pēc analoģijas ar vienādojumu (2.1) – (2.3) translācijas kustībai:

,

.