Sirkulær bevegelse. Ensartet bevegelse i en sirkel Bevegelse av et punkt i en sirkel bevegelsesegenskaper

Siden lineær hastighet jevnt endrer retning, kan den sirkulære bevegelsen ikke kalles uniform, den akselereres jevnt.

Vinkelhastighet

La oss velge et punkt på sirkelen 1 . La oss bygge en radius. I løpet av en tidsenhet vil punktet flyttes til punkt 2 . I dette tilfellet beskriver radius vinkelen. Vinkelhastigheten er numerisk lik rotasjonsvinkelen til radius per tidsenhet.

Periode og frekvens

Rotasjonsperiode T- dette er tiden hvor kroppen gjør én revolusjon.

Rotasjonsfrekvens er antall omdreininger per sekund.

Frekvens og periode henger sammen av forholdet

Sammenheng med vinkelhastighet

Lineær hastighet

Hvert punkt på sirkelen beveger seg med en viss hastighet. Denne hastigheten kalles lineær. Retningen til den lineære hastighetsvektoren faller alltid sammen med tangenten til sirkelen. For eksempel beveger gnister fra under en slipemaskin seg og gjentar retningen for øyeblikkelig hastighet.

Tenk på et punkt på en sirkel som gjør én revolusjon, tidsbruken er perioden T. Banen som et punkt går er omkretsen.

Sentripetal akselerasjon

Når du beveger deg i en sirkel, er akselerasjonsvektoren alltid vinkelrett på hastighetsvektoren, rettet mot sentrum av sirkelen.

Ved å bruke de foregående formlene kan vi utlede følgende relasjoner

Punkter som ligger på samme rette linje som kommer fra sentrum av sirkelen (dette kan for eksempel være punkter som ligger på eikene til et hjul) vil ha samme vinkelhastigheter, periode og frekvens. Det vil si at de vil rotere på samme måte, men med forskjellige lineære hastigheter. Jo lenger et punkt er fra sentrum, jo ​​raskere vil det bevege seg.

Loven om tillegg av hastigheter er også gyldig for rotasjonsbevegelse. Hvis bevegelsen til et legeme eller en referanseramme ikke er ensartet, gjelder loven for øyeblikkelige hastigheter. For eksempel er hastigheten til en person som går langs kanten av en roterende karusell lik vektorsummen av den lineære rotasjonshastigheten til kanten av karusellen og hastigheten til personen.

Jorden deltar i to hovedrotasjonsbevegelser: daglig (rundt sin akse) og orbital (rundt solen). Rotasjonsperioden for jorden rundt solen er 1 år eller 365 dager. Jorden roterer rundt sin akse fra vest til øst, perioden for denne rotasjonen er 1 dag eller 24 timer. Breddegrad er vinkelen mellom ekvatorplanet og retningen fra jordens sentrum til et punkt på overflaten.

I følge Newtons andre lov er årsaken til enhver akselerasjon kraft. Hvis et legeme i bevegelse opplever sentripetal akselerasjon, kan arten av kreftene som forårsaker denne akselerasjonen være annerledes. For eksempel, hvis en kropp beveger seg i en sirkel på et tau knyttet til den, så er den virkende kraften den elastiske kraften.

Hvis et legeme som ligger på en skive roterer med skiven rundt sin akse, så er en slik kraft friksjonskraften. Hvis kraften stopper sin handling, vil kroppen fortsette å bevege seg i en rett linje

Tenk på bevegelsen av et punkt på en sirkel fra A til B. Den lineære hastigheten er lik v A Og v B hhv. Akselerasjon er endringen i hastighet per tidsenhet. La oss finne forskjellen mellom vektorene.

Sirkulær bevegelse er det enkleste tilfellet av krumlinjet bevegelse av en kropp. Når et legeme beveger seg rundt et bestemt punkt, sammen med forskyvningsvektoren, er det praktisk å angi vinkelforskyvningen ∆ φ (rotasjonsvinkel i forhold til sentrum av sirkelen), målt i radianer.

Når du kjenner til vinkelforskyvningen, kan du beregne lengden på sirkelbuen (banen) som kroppen har krysset.

∆ l = R ∆ φ

Hvis rotasjonsvinkelen er liten, så ∆ l ≈ ∆ s.

La oss illustrere hva som er sagt:

Vinkelhastighet

Med krumlinjet bevegelse introduseres begrepet vinkelhastighet ω, det vil si endringshastigheten i rotasjonsvinkelen.

Definisjon. Vinkelhastighet

Vinkelhastigheten ved et gitt punkt i banen er grensen for forholdet mellom vinkelforskyvningen ∆ φ og tidsintervallet ∆ t som den skjedde. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Måleenheten for vinkelhastighet er radian per sekund (r a d s).

Det er en sammenheng mellom vinkel- og lineærhastigheten til en kropp når den beveger seg i en sirkel. Formel for å finne vinkelhastighet:

Med jevn bevegelse i en sirkel forblir hastighetene v og ω uendret. Bare retningen til den lineære hastighetsvektoren endres.

I dette tilfellet påvirker ensartet bevegelse i en sirkel kroppen ved sentripetal, eller normal akselerasjon, rettet langs radiusen til sirkelen til sentrum.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Centripetalakselerasjonsmodulen kan beregnes ved å bruke formelen:

a n = v 2 R = ω 2 R

La oss bevise disse sammenhengene.

La oss vurdere hvordan vektoren v → endres over en kort tidsperiode ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .

Ved punktene A og B er hastighetsvektoren rettet tangentielt til sirkelen, mens hastighetsmodulene i begge punktene er like.

Per definisjon av akselerasjon:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

La oss se på bildet:

Trekanter OAB og BCD er like. Det følger av dette at O ​​A A B = B C C D .

Hvis verdien av vinkelen ∆ φ er liten, er avstanden A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Når vi tar i betraktning at O ​​A = R og C D = ∆ v for de lignende trekantene vurdert ovenfor, får vi:

R v ∆ t = v ∆ v eller ∆ v ∆ t = v 2 R

Når ∆ φ → 0, nærmer retningen til vektoren ∆ v → = v B → - v A → retningen til sentrum av sirkelen. Forutsatt at ∆ t → 0, får vi:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0 ; a n → = v2R.

Med jevn bevegelse rundt en sirkel forblir akselerasjonsmodulen konstant, og retningen til vektoren endres med tiden, og opprettholder orienteringen til sentrum av sirkelen. Det er derfor denne akselerasjonen kalles sentripetal: vektoren til enhver tid er rettet mot sentrum av sirkelen.

Å skrive sentripetalakselerasjon i vektorform ser slik ut:

a n → = - ω 2 R → .

Her er R → radiusvektoren til et punkt på en sirkel med origo i sentrum.

Generelt består akselerasjon når du beveger deg i en sirkel av to komponenter - normal og tangentiell.

La oss vurdere tilfellet når en kropp beveger seg ujevnt rundt en sirkel. La oss introdusere begrepet tangentiell (tangensiell) akselerasjon. Retningen sammenfaller med retningen til kroppens lineære hastighet, og ved hvert punkt i sirkelen er den rettet tangent til den.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

Her ∆ v τ = v 2 - v 1 - endring i hastighetsmodul over intervallet ∆ t

Retningen til den totale akselerasjonen bestemmes av vektorsummen av normal- og tangentiell akselerasjon.

Sirkulær bevegelse i et plan kan beskrives ved hjelp av to koordinater: x og y. I hvert øyeblikk kan kroppens hastighet dekomponeres i komponentene v x og v y.

Hvis bevegelsen er ensartet, vil mengdene v x og v y samt de tilsvarende koordinatene endres i tid i henhold til en harmonisk lov med en periode T = 2 π R v = 2 π ω

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Sirkulær bevegelse er et spesielt tilfelle av krumlinjet bevegelse. Hastigheten til et legeme på ethvert punkt i en krumlinjet bane er rettet tangentielt til det (fig. 2.1). I dette tilfellet kan hastigheten som vektor endre seg både i størrelse (størrelse) og retning. Hvis hastighetsmodulen forblir uendret, da snakker vi om jevn krumlinjet bevegelse.

La en kropp bevege seg i en sirkel med konstant hastighet fra punkt 1 til punkt 2.

I dette tilfellet vil kroppen reise en bane lik lengden på buen ℓ 12 mellom punktene 1 og 2 i tiden t. I løpet av samme tid vil radiusvektoren R trukket fra sentrum av sirkelen 0 til punktet rotere gjennom en vinkel Δφ.

Hastighetsvektoren ved punkt 2 skiller seg fra hastighetsvektoren ved punkt 1 med retning med verdien ΔV:

;

For å karakterisere endringen i hastighetsvektoren med verdien δv, introduserer vi akselerasjon:

(2.4)

Vektor på ethvert punkt av banen rettet langs radius Rк senter sirkel vinkelrett på hastighetsvektoren V 2. Derfor akselerasjonen , som karakteriserer endringen i hastighet under krumlinjet bevegelse i retning kalles centripetal eller normal. Dermed er bevegelsen av et punkt langs en sirkel med konstant absolutt hastighet akselerert.

Hvis hastigheten endringer ikke bare i retning, men også i modul (størrelse), da i tillegg til normal akselerasjon de introduserer også tangent (tangensiell) akselerasjon , som karakteriserer endringen i hastighet i størrelsesorden:

eller

Regissert vektor langs en tangent på et hvilket som helst punkt av banen (dvs. sammenfaller med retningen til vektoren ). Vinkel mellom vektorer Og tilsvarer 90 0.

Den totale akselerasjonen til et punkt som beveger seg langs en buet bane er definert som en vektorsum (fig. 2.1.).

.

Vektormodul
.

Vinkelhastighet og vinkelakselerasjon

Når et materiell punkt beveger seg periferisk Radiusvektoren R, trukket fra sentrum av sirkelen O til punktet, roterer gjennom en vinkel Δφ (fig. 2.1). For å karakterisere rotasjon introduseres begrepene vinkelhastighet ω og vinkelakselerasjon ε.

Vinkelen φ kan måles i radianer. 1 rad er lik vinkelen som hviler på buen ℓ lik radius R til sirkelen, dvs.

eller ℓ 12 = Rφ (2.5.)

La oss differensiere ligningen (2.5.)

(2.6.)

Verdi dℓ/dt=V øyeblikk. Mengden ω =dφ/dt kalles vinkelhastighet(målt i rad/s). La oss finne forholdet mellom lineære og vinkelhastigheter:

Mengden ω er vektor. Vektor retning fast bestemt skrueregel: den faller sammen med skruens bevegelsesretning, orientert langs rotasjonsaksen til et punkt eller legeme og rotert i kroppens rotasjonsretning (fig. 2.2), dvs.
.

Vinkelakselerasjonkalt vektormengdederiverten av vinkelhastigheten (momentan vinkelakselerasjon)

, (2.8.)

Vektor faller sammen med rotasjonsaksen og er rettet i samme retning som vektoren , hvis rotasjonen akselereres, og i motsatt retning hvis rotasjonen er sakte.

Hastighetnkropper per tidsenhet kallesrotasjonsfart .

Tiden T for en hel omdreining av kroppen kallesrotasjonsperiode . HvoriRbeskriver vinkelen Δφ=2π radianer

Når det er sagt

, (2.9)

Ligning (2.8) kan skrives som følger:

(2.10)

Deretter den tangentielle komponenten av akselerasjon

og  =R(2,11)

Normal akselerasjon a n kan uttrykkes som følger:

tar hensyn til (2.7) og (2.9)

(2.12)

Deretter full akselerasjon.

For rotasjonsbevegelse med konstant vinkelakselerasjon , kan vi skrive kinematikkligningen i analogi med ligning (2.1) – (2.3) for translasjonsbevegelse:

,

.