Sonuçta ortaya çıkan hız. Yer değiştirmelerin ve hızların toplamı kanunu

1.4. Hareketin göreliliği

1.4.1. Yer değiştirmelerin toplamı kanunu ve hızların toplamı kanunu

Aynı cismin mekanik hareketi farklı referans sistemlerinde farklı görünür.

Kesinlik sağlamak için iki referans sistemi kullanacağız (Şekil 1.33):

• K - sabit referans çerçevesi;
• K ′ - hareketli referans çerçevesi.

Pirinç. 1.33

K ′ sistemi referans sistemi K'ye göre Ox ekseninin pozitif yönünde u → hızıyla hareket eder.

K referans sisteminde bir maddi noktanın (cisim) v → hızıyla hareket etmesine ve ∆t zaman aralığı boyunca Δ r → bir hareket yapmasına izin verin. K ′ referans çerçevesine göre bu maddi noktanın v → ′ hızı vardır ve belirlenen ∆t zaman aralığında Δ r ′ → hareket eder.

Yer değiştirmelerin eklenmesi kanunu

Sabit (K) ve hareketli (K′) referans sistemlerindeki (sırasıyla Δ r → ve Δ r ′ →) maddi bir noktanın yer değiştirmeleri birbirinden farklıdır ve ilişkilidir yer değiştirmelerin eklenmesi kanunu:

Δ r → = Δ r ′ → + sen → Δ t,

burada Δ r → maddi bir noktanın (gövdenin) sabit bir referans çerçevesi K'de ∆t zaman aralığı boyunca hareketidir; Δ r ′ → - maddi bir noktanın (gövdenin) hareketli bir referans çerçevesinde K ′ zaman aralığı boyunca ∆t hareketi; u → K referans çerçevesine göre hareket eden K′ referans çerçevesinin hızıdır.

Yer değiştirmelerin eklenmesi kanunu şuna karşılık gelir: yer değiştirme üçgeni"(Şekil 1.34).

Sorunları çözerken yer değiştirmelerin eklenmesi kanununun bazen yazılması tavsiye edilir. koordinat formu:

Δ x = Δ x ′ + sen x Δ t , Δ y = Δ y ′ + sen y Δ t , )

burada ∆x ve ∆y, K referans sistemindeki ∆t zaman aralığı boyunca malzeme noktasının (gövde) x ve y koordinatlarındaki değişikliktir; ∆x ′ ve ∆y ′ - K ′ referans sistemindeki ∆t zaman aralığı boyunca malzeme noktasının (gövdenin) karşılık gelen koordinatlarındaki değişiklik; u x ve u y, referans sistemi K'ye göre hareket eden u → referans sistemi K ′ hızının koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir.

Hızların eklenmesi kanunu

Sabit (K) ve hareketli (K′) referans sistemlerindeki (sırasıyla v → ve v → ′) maddi bir noktanın hızları da birbirinden farklıdır ve ilişkilidir hızların eklenmesi kanunu:

v → = v → ′ + sen → ,

burada u → K referans çerçevesine göre hareket eden K′ referans çerçevesinin hızıdır.

Hız toplama kanunu şuna karşılık gelir: hız üçgeni"(Şekil 1.35).

Pirinç. 1.35

Problemleri çözerken bazen hızların toplamı yasasını yazmak tavsiye edilir. koordinat eksenleri üzerine projeksiyonlar:

v x = v ′ x + sen x , v y = v ′ y + sen y , )

İki cismin bağıl hızı

Belirlemek için bağıl hızİki cismin hareketi için aşağıdaki algoritmanın kullanılması uygundur:

4) v → , v → ′ ve u → vektörlerini xOy koordinat sisteminde temsil eder;

5) Hızların toplamı yasasını forma yazın

v → = v → ′ + sen → veya v x = v ′ x + sen x , v y = v ′ y + sen y ; )

6) v → ′'yi ifade edin:

v → ′ = v → − sen →

veya v ′ x ve v ′ y:

v ′ x = v x - sen x , v ′ y = v y - sen y ; )

7) formülü kullanarak v → ′ bağıl hız vektörünün büyüklüğünü bulun

v ′ = v ′ x 2 + v ′ y 2 ,

burada v x ve v y hız vektörünün v → K referans sistemindeki malzeme noktasının (gövde) koordinat eksenlerine izdüşümleridir; v ′ x ve v ′ y - K ′ referans sistemindeki maddi bir noktanın (gövdenin) v → ′ hız vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleri; u x ve u y, referans sistemi K'ye göre hareket eden u → referans sistemi K ′ hızının koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir.

Hareket eden iki cismin bağıl hızını belirlemek için bir koordinat ekseni boyunca, aşağıdaki algoritmayı kullanmak uygundur:

1) hangi kurumun referans sistemi olarak kabul edildiğini öğrenin; bu cismin hızı u → ;

2) ikinci cismin hızını v → olarak belirtin;

3) cisimlerin bağıl hızı v → ′ olarak gösterilir;

4) v → , v → ′ ve u → vektörleri Ox koordinat ekseninde tasvir edilmiştir;

5) Hızların toplamı yasasını şu şekilde yazın:

v x = v ′ x + sen x ;

6) v ′ x'i ifade edin:

v ′ x = v x - sen x ;

7) bağıl hız vektörünün büyüklüğünü v → formülü kullanarak bulun

v' = | v ′ x | ,

burada v x ve v y hız vektörünün v → K referans sistemindeki malzeme noktasının (gövde) koordinat eksenlerine izdüşümleridir; v ′ x ve v ′ y - K ′ referans sistemindeki maddi bir noktanın (gövdenin) v → ′ hız vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleri; u x ve u y, referans sistemi K'ye göre hareket eden u → referans sistemi K ′ hızının koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir.

Örnek 26. Birinci cisim Ox ekseninin pozitif yönünde 6,0 m/s hızla, ikinci cisim ise negatif yönünde 8,0 m/s hızla hareket etmektedir. İkinci cisimle ilişkili referans çerçevesindeki birinci cismin hız modülünü belirleyin.

Çözüm. Hareketli referans çerçevesi ikinci gövdedir; hareketli referans çerçevesinin u → hızının Ox eksenine izdüşümü şuna eşittir:

u x = −8,0 m/s,

çünkü ikinci gövdenin hareketi belirtilen eksenin negatif yönünde meydana gelir.

Birinci cismin sabit bir referans çerçevesine göre v → hızı vardır; Ox eksenine izdüşümü şuna eşittir:

v x = 6,0 m/s,

çünkü birinci gövdenin hareketi belirtilen eksenin pozitif yönünde meydana gelir.

Bu sorunu çözmek için, projeksiyondaki hızların toplamı kanununun koordinat eksenine yazılması tavsiye edilir; aşağıdaki biçimde:

v x = v ′ x + sen x ,

burada v'x, birinci cismin hızının hareketli referans çerçevesine (ikinci cisim) göre izdüşümüdür.

v ′ x miktarı istenen miktardır; değeri formülle belirlenir

v ′ x = v x - sen x .

Hesaplamayı yapalım:

v ′ x = 6,0 − (− 8,0) = 14 m/s.

Örnek 29. Sporcular 46 m uzunluğunda zincir halinde aynı hızla birbirlerinin peşinden koşarlar. Antrenör sporcuların hızından üç kat daha az bir hızla onlara doğru koşuyor. Antrenöre yetişen her sporcu aynı hızla döner ve geri koşar. Tüm sporcular ters yönde koştuğunda zincirin uzunluğu ne kadar olur?

Çözüm. Sporcuların ve antrenörün hareketinin, başlangıcı son sporcunun pozisyonuna denk gelen Öküz ekseni boyunca gerçekleşmesine izin verin. O zaman Dünya'ya göre hareket denklemleri aşağıdaki forma sahiptir:

• son atlet -

  x 1 (t) = vt;

• eğitimci -

  x 2 (t) = L - 1 3 v t ;

• ilk atlet -

  x 3 (t) = L − vt,

  burada v her sporcunun hız modülüdür; 1 3 v - antrenör hız modülü; L zincirin başlangıç ​​uzunluğudur; t - zaman.

Hareketli referans çerçevesini eğiticiye bağlayalım.

Son sporcunun hareketli referans sistemine (antrenör) göre hareket denklemini x ′(t) olarak gösterelim ve koordinat formunda yazılan yer değiştirmelerin toplamı kanunundan bulalım:

x (t) = x ′(t) + X (t), yani. x ′(t) = x(t) − X(t),

X (t) = x 2 (t) = L − 1 3 v t -

antrenörün Dünya'ya göre hareket denklemi (hareketli referans çerçevesi);

x (t) = x 1 (t) = vt;

Son sporcunun Dünya'ya göre hareket denklemi.

X (t), X (t) ifadelerini yazılı denklemde yerine koyarsak:

x ′ (t) = x 1 (t) - x 2 (t) = v t - (L - 1 3 v t) = 4 3 v t - L .

Bu denklem son sporcunun antrenöre göre hareket denklemini temsil eder. Son sporcu ve antrenörün buluşması anında (t = t 0), göreceli koordinatları x ′(t 0) sıfır olur:

4 3 v t 0 - L = 0 .

Denklem, zamanda belirtilen noktayı bulmanızı sağlar:

Bu noktada tüm sporcular ters yönde koşmaya başlar. Sporcu zincirinin uzunluğu, belirtilen zamanda ilk x 3 (t 0) ve son x 1 (t 0) sporcunun koordinatlarındaki farka göre belirlenir:

ben = | x 3 (t 0) - x 1 (t 0) | ,

veya açıkça:

ben = | (L - v t 0) - v t 0 | = | L - 2 v t 0 | = | U - 2 v 3 L 4 v | = 0,5 L = 0,5 ⋅ 46 = 23 m.

2. GÖVDE HIZI SAĞ DOĞRUSAL ÜNİFORM HAREKET.

Hız vücut hareketinin niceliksel bir özelliğidir.

ortalama sürat noktanın yer değiştirme vektörünün bu yer değiştirmenin meydana geldiği Δt zaman periyoduna oranına eşit fiziksel bir niceliktir. Ortalama hız vektörünün yönü, yer değiştirme vektörünün yönü ile çakışmaktadır. Ortalama hız aşağıdaki formülle belirlenir:

Anlık hız yani, zamanın belirli bir anında hız, ortalama hızın Δt zaman periyodunda sonsuz bir azalmayla yöneldiği sınıra eşit fiziksel bir niceliktir:

Başka bir deyişle, zamanın belirli bir anında anlık hız, çok küçük bir hareketin, bu hareketin meydana geldiği çok kısa bir zaman dilimine oranıdır.

Anlık hız vektörü, vücudun yörüngesine teğet olarak yönlendirilir (Şekil 1.6).

Pirinç. 1.6. Anlık hız vektörü.

SI sisteminde hız, saniyede metre cinsinden ölçülür, yani hızın birimi, bir cismin bir saniyede bir metrelik bir mesafe kat ettiği bu tür düzgün doğrusal hareketin hızı olarak kabul edilir. Hız birimi şu şekilde gösterilir: Hanım. Hız genellikle diğer birimlerde ölçülür. Örneğin bir arabanın, trenin vb. hızını ölçerken. Yaygın olarak kullanılan birim saatte kilometredir:

1 km/saat = 1000 m / 3600 sn = 1 m / 3,6 sn

1 m/s = 3600 km / 1000 sa = 3,6 km/sa

Hızların eklenmesi (belki de aynı soru mutlaka 5'te olmayacaktır).

Farklı referans sistemlerindeki vücut hareketinin hızları klasik olarak birbirine bağlanır. hızların eklenmesi kanunu.

Vücut hızı göreceli sabit referans çerçevesi vücudun hızlarının toplamına eşit hareketli referans sistemi ve sabit olana göre en hareketli referans sistemi.

Örneğin bir yolcu treni demiryolu boyunca 60 km/saat hızla hareket etmektedir. Bir kişi bu trenin vagonunda 5 km/saat hızla yürüyor. Demiryolunu sabit olarak ele alırsak ve referans sistemi olarak alırsak, o zaman bir kişinin referans sisteme göre (yani demiryoluna göre) hızı, trenin ve kişinin hızlarının toplamına eşit olacaktır, yani

Kişi trenle aynı yönde yürüyorsa 60 + 5 = 65

Bir kişi ve bir tren farklı yönlerde hareket ediyorsa 60 – 5 = 55

Ancak bu yalnızca kişi ve trenin aynı hat üzerinde hareket etmesi durumunda geçerlidir. Bir kişi belli bir açıyla hareket ederse, o zaman hızın olduğunu hatırlayarak bu açıyı hesaba katması gerekecektir. vektör miktarı.

Örnek + Yer değiştirmenin eklenmesi yasası kırmızı renkle vurgulanmıştır (Bunun öğretilmesine gerek olmadığını düşünüyorum, ancak genel gelişim için okuyabilirsiniz)

Şimdi yukarıda açıklanan örneğe daha ayrıntılı olarak, ayrıntılarla ve resimlerle bakalım.

Yani bizim durumumuzda demiryolu sabit referans çerçevesi. Bu yol boyunca hareket eden tren hareketli referans çerçevesi. Kişinin üzerinde yürüdüğü vagon trenin bir parçasıdır.

Bir kişinin arabaya göre hızı (hareketli referans çerçevesine göre) 5 km/saattir. H harfiyle gösterelim.

Trenin (ve dolayısıyla vagonun) sabit bir referans çerçevesine göre (yani demiryoluna göre) hızı 60 km/saattir. B harfiyle gösterelim. Başka bir deyişle trenin hızı, hareketli referans çerçevesinin sabit referans çerçevesine göre hızıdır.

Bir kişinin demiryoluna göre hızı (sabit bir referans çerçevesine göre) bizim için hala bilinmiyor. Harfiyle belirtelim.

Şimdi XOY koordinat sistemini sabit referans sistemiyle (Şekil 1.7) ve X P O P Y P koordinat sistemini hareketli referans sistemiyle ilişkilendirelim. Şimdi bir kişinin sabit referans sistemine göre yani göreceli hızını bulmaya çalışalım. demiryoluna.

Kısa bir süre içinde aşağıdaki olaylar meydana gelir:

O halde bu süre zarfında bir kişinin demiryoluna göre hareketi:

Bu yer değiştirmelerin eklenmesi kanunu. Örneğimizde bir kişinin demiryoluna göre hareketi, kişinin vagona göre ve vagonun demiryoluna göre hareketlerinin toplamına eşittir.

Pirinç. 1.7. Yer değiştirmelerin eklenmesi kanunu.

Yer değiştirmelerin toplamı kanunu şu şekilde yazılabilir:

= Δ H Δt + Δ B Δt

Bir kişinin demiryoluna göre hızı:

Bir kişinin arabaya göre hızı:

Δ H = H / Δt

Demiryoluna göre arabanın hızı:

Bu nedenle, bir kişinin demiryoluna göre hızı şuna eşit olacaktır:

Bu kanunhız ekleme:

Düzgün hareket– bu sabit hızda harekettir, yani hız değişmediğinde (v = sabit) ve hızlanma veya yavaşlama meydana gelmediğinde (a = 0).

Düz çizgi hareketi- bu düz bir çizgideki harekettir, yani doğrusal hareketin yörüngesi düz bir çizgidir.

Düzgün doğrusal hareket- Bu, vücudun herhangi bir eşit zaman aralığında eşit hareketler yaptığı bir harekettir. Örneğin, belirli bir zaman aralığını birer saniyelik aralıklara bölersek, vücut bu zaman aralıklarının her biri için düzgün hareketle aynı mesafeyi kat edecektir.

Düzgün doğrusal hareketin hızı zamana bağlı değildir ve yörüngenin her noktasında vücudun hareketiyle aynı şekilde yönlendirilir. Yani yer değiştirme vektörü hız vektörü ile aynı doğrultudadır. Bu durumda herhangi bir zaman periyodundaki ortalama hız anlık hıza eşittir:

Düzgün doğrusal hareket hızı bir cismin herhangi bir zaman periyodundaki hareketinin bu t aralığının değerine oranına eşit fiziksel bir vektör miktarıdır:

Böylece düzgün doğrusal hareketin hızı, maddesel bir noktanın birim zamanda ne kadar hareket ettiğini gösterir.

Hareketli düzgün doğrusal hareket aşağıdaki formülle belirlenir:

Kat edilen mesafe doğrusal harekette yer değiştirme modülüne eşittir. OX ekseninin pozitif yönü hareket yönüyle çakışıyorsa, hızın OX eksenine izdüşümü hızın büyüklüğüne eşit ve pozitiftir:

v x = v, yani v > 0

OX ekseni üzerindeki yer değiştirmenin izdüşümü şuna eşittir:

s = vt = x – x 0

burada x 0 cismin başlangıç ​​koordinatıdır, x cismin son koordinatıdır (veya cismin herhangi bir andaki koordinatıdır)

Hareket denklemi yani cisim koordinatlarının x = x(t) zamanına bağımlılığı şu şekli alır:

OX ekseninin pozitif yönü cismin hareket yönünün tersi ise, o zaman cismin hızının OX eksenine izdüşümü negatif olur, hız sıfırdan küçüktür (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид.

Lorentz dönüşümleri bize bir referans sisteminden diğerine geçerken olayın koordinatlarındaki değişimi hesaplama fırsatı verir. Şimdi referans sistemi değiştiğinde aynı cismin hızının nasıl değişeceği sorusunu soralım.

Klasik mekanikte bilindiği gibi bir cismin hızı basitçe referans sisteminin hızına eklenir. Şimdi görelilik teorisinde hızın daha karmaşık bir yasaya göre dönüştüğünü göreceğiz.

Biz yine kendimizi tek boyutlu durumu ele almakla sınırlayacağız. İki referans sistemi S ve S'nin, eksenlere paralel ve düzgün biçimde paralel hareket eden bir cismin hareketini "gözlemlemesine" izin verin. X Ve x' her iki referans sistemi. Referans sistemi tarafından ölçülen vücudun hızına izin verin S, Orada Ve; Aynı cismin S sistemi tarafından ölçülen hızı şu şekilde gösterilecektir: ve' . Mektup v Sistemin hızını belirtmeye devam edeceğiz S' ile ilgili S.

Vücudumuzda koordinatları sistemde belirtilen iki olayın meydana geldiğini varsayalım. S öz x 1, t 1, VeX 2 , T 2 . Sistemdeki aynı olayların koordinatları S` bırak onlar olsun x'1, T` 1 ; x' 2 , t' 2 . Ancak bir cismin hızı, cismin kat ettiği mesafenin buna karşılık gelen zaman dilimine oranıdır; bu nedenle, bir referans sisteminin birinde ve diğerinde bir cismin hızını bulmak için, her iki olayın uzaysal koordinatlarındaki farkı, zaman koordinatlarındaki farka bölmeniz gerekir.

eğer ışığın hızı sonsuz kabul edilirse, her zaman olduğu gibi göreceli olandan elde edilebilir. Aynı formül şu şekilde de yazılabilir:

Küçük, "sıradan" hızlar için, hem göreli hem de klasik formüller neredeyse aynı sonuçları verir ve okuyucu isterse bunu kolayca doğrulayabilir. Ancak ışık hızına yakın hızlarda fark çok belirgin hale geliyor. Yani eğer v=150.000 km/sn, u`=200 000 km/İleek, km/sn göreceli formül şunu verir sen = 262 500 km/İleek.

S v hızıyla = 150.000 km/sn. S` sonucu verir =200 000 km/sn. km/İleek.


km/sn, ve ikincisi - 200.000 km/sn, kilometre.

İle. Bu ifadeyi oldukça kesin bir şekilde kanıtlamak zor değil. Kontrol etmek gerçekten çok kolay.

Küçük, "sıradan" hızlar için, hem göreli hem de klasik formüller neredeyse aynı sonuçları verir ve okuyucu isterse bunu kolayca doğrulayabilir. Ancak ışık hızına yakın hızlarda fark çok belirgin hale geliyor. Yani eğer v=150.000 km/sn, u`=200 000 km/İleek, o zaman klasik sonuç yerine u = 350.000 km/sn göreceli formül şunu verir sen = 262 500 km/İleek. Hız ekleme formülünün anlamına göre bu sonuç şu anlama gelir.

Referans sistemi S'nin referans sistemine göre hareket etmesine izin verin S v hızıyla = 150.000 km/sn. Bir cismin aynı yönde hareket etmesine izin verin ve hızı referans sistemi tarafından ölçülür. S` sonuç verir sen =200 000 km/sn.Şimdi aynı cismin hızını S referans çerçevesini kullanarak ölçersek, u=262,500 elde ederiz. km/İleek.


Elde ettiğimiz formülün, iki cismin "yaklaşma hızını" veya "uzaklaşma hızını" hesaplamak için değil, aynı cismin bir referans sisteminden diğerine hızını yeniden hesaplamak için özel olarak tasarlandığını vurgulamak gerekir. Aynı referans çerçevesinden birbirine doğru hareket eden iki cismi gözlemlersek ve bir cismin hızı 150.000 ise km/sn, ve ikincisi - 200.000 km/sn, o zaman bu cisimler arasındaki mesafe her saniye 350.000 azalacak kilometre. Görelilik teorisi aritmetik yasalarını ortadan kaldırmaz.

Okuyucu zaten anlamıştır ki, bu formülü ışık hızını aşmayan hızlara uygulayarak yine aşmayan bir hız elde edeceğiz. İle. Bu ifadeyi oldukça kesin bir şekilde kanıtlamak zor değil. Aslında eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek kolaydır

Çünkü sen ≤ с Ve v < C, eşitliğin sağ tarafında pay ve payda ve onlarla birlikte kesrin tamamı negatif değildir. Bu nedenle köşeli parantez birden küçüktür ve bu nedenle ve ≤ c .
Eğer Ve` = İle, sonra ve ve=İle. Bu, ışık hızının sabitliği kanunundan başka bir şey değildir. Elbette bu sonucu, ışık hızının sabitliği varsayımının "kanıtı" ya da en azından "doğrulanması" olarak değerlendirmemek gerekir. Sonuçta biz en başından itibaren bu postüladan yola çıktık ve onunla çelişmeyen bir sonuca ulaşmamız şaşırtıcı değil, aksi takdirde bu postüla çelişkili ispatla çürütülmüş olurdu. Aynı zamanda hızların toplamı yasasının ışık hızının sabitliği varsayımına eşdeğer olduğunu görüyoruz; bu iki ifadenin her biri mantıksal olarak diğerinden (ve görelilik teorisinin geri kalan varsayımlarından) çıkar.

Hızların toplamı yasasını türetirken cismin hızının referans sistemlerinin bağıl hızına paralel olduğunu varsaydık. Bu varsayım yapılamaz, ancak o zaman formülümüz yalnızca hızın x ekseni boyunca yönlendirilen bileşeniyle ilgili olacaktır ve formül şu şekilde yazılmalıdır:

Bu formülleri kullanarak olguyu analiz edeceğiz sapmalar(bkz. § 3). Kendimizi en basit durumla sınırlayalım. Referans sisteminde bir miktar armatür olsun S hareketsiz, daha da ileri olsun, referans sistemi S` sisteme göre hareket eder S hızlı v ve S' ile hareket eden gözlemcinin, yıldız tam başının üzerinde olduğu anda yıldızdan gelen ışık ışınlarını almasına izin verin (Şekil 21). Bu ışının sistemdeki hız bileşenleri S irade
sen x = 0, sen y = 0, sen x = -c.

Referans çerçevesi S` için formüllerimiz şunu verir:
sen X = -v, u` sen = 0,
sen z = -c√ (1 - v 2 /C 2 )
Eğer bölersek kirişin eğim açısının z eksenine olan tanjantını elde ederiz. ve'X Açık sen:
ten rengi α = ve'X / ve'z = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

Hız ise v çok büyük değilse, o zaman bizim bildiğimiz yaklaşık formülü uygulayabiliriz.
tan α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
İlk terim iyi bilinen klasik bir sonuçtur; ikinci terim göreceli düzeltmedir.

Dünyanın yörünge hızı yaklaşık 30 km/sn, Bu yüzden (v/ C) = 1 0 -4 . Küçük açılar için teğet, radyan cinsinden ölçülen açının kendisine eşittir; Bir radyan yaklaşık 200.000 yay saniyesi içerdiğinden sapma açısını elde ederiz:
a = 20°
Göreli düzeltme 20.000.000 kat daha küçüktür ve astronomik ölçümlerin doğruluğunun çok ötesindedir. Sapma nedeniyle, yıldızlar her yıl gökyüzünde yarı ana eksenleri 20 inç olan elipsler çizerler.

Hareket eden bir cisme baktığımızda onu o anda olduğu yerde değil, biraz daha erken olduğu yerde görürüz. Çünkü ışığın cisimden gözümüze ulaşması biraz zaman alır. Görelilik teorisi açısından bu olay, sapmaya eşdeğerdir ve söz konusu cismin hareketsiz olduğu referans çerçevesine geçildiğinde ona indirgenir. Bu basit değerlendirmeye dayanarak, hızların göreceli toplamı kanununa başvurmadan, sapma formülünü tamamen basit bir şekilde elde edebiliriz.

Yıldızımızın sağdan sola dünya yüzeyine paralel hareket etmesine izin verin (Şek. 22). O noktaya varıldığında A, tam altında C noktasında bulunan bir gözlemci onu hala bu noktada görüyor İÇİNDE. Yıldızın hızı eşitse v, ve segmenti geçtiği süre AİÇİNDE, eşittir Δt, O

AB =Δt ,
M.Ö. = CΔt ,

günahα = AB/BC = v/c.

Ama sonra trigonometri formülüne göre,

Q.E.D. Klasik kinematikte bu iki bakış açısının eşdeğer olmadığına dikkat edin.

Aşağıdaki soru da ilginç. Bilindiği gibi klasik kinematikte hızlar paralelkenar kuralına göre toplanır. Bu yasayı daha karmaşık bir yasayla değiştirdik. Bu, görelilik teorisinde hızın artık bir vektör olmadığı anlamına mı geliyor?

Öncelikle şu gerçek sen≠u`+ v (vektörleri kalın harflerle gösteriyoruz) tek başına hızın vektör doğasını inkar edecek bir zemin sağlamaz. Verilen iki vektörden üçüncü bir vektör yalnızca bunların eklenmesiyle değil, örneğin vektör çarpımı yoluyla ve genel olarak sayısız yolla elde edilebilir. Referans sistemi değiştiğinde vektörlerin değişeceği hiçbir yerden anlaşılamaz. ve' Ve v tam olarak eklenmelidir. Aslında bunu ifade eden bir formül var. Ve başından sonuna kadar ve' Ve v vektör hesabı işlemlerini kullanma:

Bu bakımdan “hızların toplamı kanunu” isminin pek de yerinde olmadığını kabul etmek gerekir; bazı yazarların yaptığı gibi toplamadan değil, referans sistemini değiştirirken hızın dönüşümünden bahsetmek daha doğrudur.

İkinci olarak, görelilik teorisinde hızların hala vektörel olarak toplandığı durumları belirtmek mümkündür. Örneğin vücudun belirli bir süre hareket etmesine izin verin Δt hızlı sen 1, ve sonra - aynı hızda aynı süre boyunca sen 2. Bu karmaşık hareketin yerini sabit hızlı u = hareket alabilir. sen 1+ sen 2. İşte hız sen 1 ve sen 2 paralelkenar kuralına göre benzer vektörleri toplayın; görelilik teorisi burada hiçbir değişiklik yapmıyor.
Genel olarak, görelilik teorisinin "paradokslarının" çoğunun şu ya da bu şekilde referans çerçevesindeki bir değişiklikle bağlantılı olduğuna dikkat edilmelidir. Olayları aynı referans çerçevesinde ele alırsak, görelilik teorisinin onların modellerinde ortaya çıkardığı değişiklikler, sıklıkla düşünüldüğü kadar dramatik olmaktan uzaktır.

Görelilik teorisindeki sıradan üç boyutlu vektörlerin doğal bir genellemesinin dört boyutlu vektörler olduğunu da belirtelim; referans sistemi değiştiğinde Lorentz formüllerine göre dönüştürülür. Üç mekansal bileşene ek olarak zamansal bir bileşene de sahiptirler. Özellikle dört boyutlu bir hız vektörü düşünülebilir. Bununla birlikte, bu vektörün uzamsal "kısmı" olağan üç boyutlu hız ile örtüşmemektedir ve genel olarak dört boyutlu hız, özellikleri açısından üç boyutludan belirgin şekilde farklıdır. Özellikle, iki dört boyutlu hızın toplamı genel anlamda bir hız olmayacaktır.

17. yüzyılın sonunda Newton tarafından formüle edilen bu teori, yaklaşık iki yüz yıl boyunca her şeyin açıklayıcı ve yanılmaz olduğu düşünüldü. 19. yüzyıla kadar ilkeleri her şeye kadir görünüyordu ve fiziğin temelini oluşturuyordu. Ancak bu döneme gelindiğinde, bilinen yasaların olağan çerçevesine sığdırılamayacak yeni gerçekler ortaya çıkmaya başladı. Zamanla farklı bir açıklama aldılar. Bu, görelilik teorisinin ve gizemli kuantum mekaniği biliminin ortaya çıkışıyla gerçekleşti. Bu disiplinlerde, zaman ve mekanın özelliklerine ilişkin daha önce kabul edilen tüm fikirler radikal bir revizyona uğramıştır. Özellikle, hızların toplamına ilişkin göreceli yasa, klasik dogmaların sınırlamalarını anlamlı bir şekilde kanıtladı.

Hızların basit şekilde eklenmesi: Bu ne zaman mümkün olur?

Newton'un fizik klasikleri hâlâ doğru kabul ediliyor ve yasaları birçok sorunu çözmek için kullanılıyor. Sadece, çeşitli nesnelerin hızlarının kural olarak önemli olmadığı, bize tanıdık gelen bir dünyada çalıştıklarını dikkate almanız gerekir.

Moskova'dan bir trenin hareket ettiği bir durumu hayal edelim. Hızı 70 km/saattir. Ve bu sırada bir yolcu, seyahat yönünde bir saniyede 2 metre koşarak bir vagondan diğerine gidiyor. Tren penceresinin dışında yanıp sönen evlere ve ağaçlara göre hareket hızını bulmak için belirtilen hızların toplanması yeterlidir. 2 m/s 7,2 km/saat'e karşılık geldiğinden istenilen hız 77,2 km/saat olacaktır.

Yüksek hızların dünyası

Fotonlar ve nötrinolar ise tamamen farklı kurallara tabidir. Hızların toplamına ilişkin göreli yasa onlar için geçerlidir ve yukarıda gösterilen ilkenin onlar için tamamen uygulanamaz olduğu düşünülmektedir. Neden?

Özel görelilik teorisine (STR) göre hiçbir cisim ışıktan daha hızlı hareket edemez. Aşırı durumlarda, bu parametreyle yalnızca yaklaşık olarak karşılaştırılabilir olabilir. Ancak bir an için (pratikte bu imkansız olsa da) önceki örnekte trenin ve yolcunun yaklaşık olarak bu şekilde hareket ettiğini hayal edersek, o zaman hızları, trenin yanından geçtiği yerde duran nesnelere göre değişir. ışık hızının neredeyse iki katına eşit olacaktır. Ve bu olmamalı. Bu durumda hesaplamalar nasıl yapılır?

11. sınıf fizik dersinden bilinen göreceli hızların toplamı kanunu aşağıdaki formülle temsil edilmektedir.

Bu ne anlama geliyor?

Belirli bir nesnenin hızının V 1 ve V 2 olduğu iki referans sistemi varsa, hesaplamalar için belirli miktarların değerinden bağımsız olarak belirtilen ilişkiyi kullanabilirsiniz. Her ikisinin de ışık hızından önemli ölçüde daha düşük olması durumunda, eşitliğin sağ tarafındaki payda pratik olarak 1'e eşittir. Bu, göreli hız toplama yasası formülünün en yaygın olana dönüştüğü anlamına gelir. yani V 2 = V 1 + V.

Şunu da belirtmek gerekir ki, V 1 = C (yani ışık hızı) olduğunda, V'nin herhangi bir değeri için V 2 bu değeri geçmeyecektir, yani aynı zamanda C'ye eşit olacaktır.

Fantezi dünyasından

C temel bir sabittir, değeri 299.792.458 m/s'dir. Einstein'ın zamanından bu yana, Evrendeki hiçbir nesnenin ışığın boşluktaki hareketini geçemeyeceğine inanılıyordu. Hızların toplamına ilişkin göreceli yasayı kısaca bu şekilde tanımlayabiliriz.

Ancak bilim kurgu yazarları bununla yüzleşmek istemediler. Kahramanları böyle bir sınırlamayı çürüten birçok şaşırtıcı hikaye icat ettiler ve icat etmeye devam ediyorlar. Göz açıp kapayıncaya kadar, uzay gemileri eski Dünya'dan binlerce ışıkyılı uzakta bulunan uzak galaksilere hareket ederek evrenin tüm yerleşik yasalarını geçersiz kılıyor.

Peki neden Einstein ve takipçileri bunun pratikte gerçekleşemeyeceğinden eminler? Işık sınırının neden bu kadar sarsılmaz olduğunu ve hızları toplamaya ilişkin görelilik yasasının neden ihlal edilemez olduğunu konuşmalıyız.

Sebep-sonuç ilişkisi

Işık bir bilgi taşıyıcısıdır. Evrenin gerçekliğinin bir yansımasıdır. Gözlemciye ulaşan ışık sinyalleri de onun zihninde gerçeklik resimlerini yeniden oluşturur. Bu, bize tanıdık gelen, her şeyin olağan şekilde devam ettiği ve olağan kurallara uyduğu bir dünyada oluyor. Ve doğuştan itibaren bunun başka türlü olamayacağı gerçeğine alışığız. Peki ya etraftaki her şeyin değiştiğini ve birisinin süper ışık hızında seyahat ederek uzaya gittiğini hayal edersek? Işık fotonlarının ilerisinde olduğu için dünya ona sanki tersten oynatılan bir film gibi görünmeye başlar. Onun için yarın yerine dün gelir, sonra dünden önceki gün vb. Ve elbette durana kadar yarını asla göremeyecek.

Bu arada, benzer bir fikir bilim kurgu yazarları tarafından da aktif olarak benimsendi ve bu ilkeleri kullanan bir zaman makinesinin analoğu yaratıldı. Kahramanları zamanda geriye gitti ve oraya gitti. Ancak neden-sonuç ilişkileri çöktü. Ve pratikte bunun pek mümkün olmadığı ortaya çıktı.

Diğer paradokslar

İleride olamamasının nedeni normal insan mantığına aykırıdır, çünkü Evrende bir düzenin olması gerekir. Ancak SRT başka paradoksları da ima ediyor. Nesnelerin davranışı, hızların toplamına ilişkin göreceli kanunun katı tanımına uysa bile, hareket hızını ışık fotonlarıyla tam olarak eşleştirmenin de imkansız olduğunu söylüyor. Neden? Evet, çünkü gerçekten büyülü dönüşümler gerçekleşmeye başlıyor. Kütle sonsuza kadar artar. Maddi bir nesnenin hareket yönündeki boyutları sonsuza kadar sıfıra yaklaşır. Ve yine, rahatsızlıkların zamanla tamamen önlenmesi mümkün değildir. Geriye doğru hareket etmese de ışık hızına ulaştığında tamamen durur.

Io tutulması

SRT, ışık fotonlarının Evrendeki en hızlı nesneler olduğunu belirtiyor. Bu durumda hızlarını ölçmek nasıl mümkün oldu? Sadece insan düşüncesinin daha hızlı olduğu ortaya çıktı. Benzer bir ikilemi çözmeyi başardı ve bunun sonucunda hızların toplamına ilişkin göreceli yasa ortaya çıktı.

Benzer sorular Newton zamanında, özellikle 1676'da Danimarkalı gökbilimci O. Roemer tarafından çözülmüştü. Ultra hızlı ışığın hızının ancak çok büyük mesafeler kat ettiğinde belirlenebileceğini fark etti. Bunun ancak cennette mümkün olabileceğini düşündü. Ve bu fikri hayata geçirme fırsatı, Roemer'in Jüpiter'in Io adlı uydularından birinin tutulmasını teleskopla gözlemlemesiyle çok geçmeden kendini gösterdi. Karartmaya girilmesi ile bu gezegenin ilk kez ortaya çıkması arasındaki zaman aralığı yaklaşık 42,5 saatti. Ve bu sefer her şey kabaca Io'nun bilinen yörünge periyoduna göre yapılan ön hesaplamalara karşılık geliyordu.

Birkaç ay sonra Roemer deneyini yeniden gerçekleştirdi. Bu dönemde Dünya Jüpiter'den önemli ölçüde uzaklaştı. Daha önceki varsayımlarla karşılaştırıldığında Io'nun yüzünü göstermekte 22 dakika geciktiği ortaya çıktı. Bu ne anlama geliyordu? Açıklama, uydunun hiç gecikmediği, ancak ondan gelen ışık sinyallerinin Dünya'ya önemli bir mesafe kat etmesinin biraz zaman aldığı yönündeydi. Bu verilere dayanarak hesaplamalar yapan gökbilimci, ışık hızının çok önemli olduğunu ve yaklaşık 300.000 km/s olduğunu hesapladı.

Fizeau'nun deneyimi

Hızların toplamına ilişkin göreli yasanın habercisi olan Fizeau'nun neredeyse iki yüzyıl sonra gerçekleştirdiği deneyi, Roemer'in tahminlerini doğruladı. 1849'da yalnızca ünlü Fransız fizikçi laboratuvar deneyleri gerçekleştirdi. Ve bunları uygulamak için, bir analogu aşağıdaki şekilde görülebilen bütün bir optik mekanizma icat edildi ve tasarlandı.

Işık kaynaktan geliyordu (bu 1. aşamaydı). Daha sonra plakadan yansıtılarak (2. aşama) dönen tekerleğin dişleri arasından geçirilir (3. aşama). Daha sonra ışınlar, oldukça uzakta bulunan ve 8,6 kilometre olarak ölçülen bir aynaya çarpıyor (4. aşama). Son olarak, ışık geri yansıtılarak tekerleğin dişlerinden geçerek (5. adım) gözlemcinin gözüne girdi ve kendisi tarafından kaydedildi (6. adım).

Tekerlek farklı hızlarda dönüyordu. Yavaş hareket ederken ışık görülebiliyordu. Hız arttıkça ışınlar izleyiciye ulaşamadan kaybolmaya başladı. Bunun nedeni kirişlerin hareket etmesinin biraz zaman alması ve bu süre zarfında tekerleğin dişlerinin bir miktar hareket etmesidir. Dönme hızı tekrar arttığında, ışık tekrar gözlemcinin gözüne ulaştı, çünkü artık daha hızlı hareket eden dişler, ışınların yine boşluklardan geçmesine izin veriyordu.

SRT ilkeleri

Görelilik teorisi dünyaya ilk kez 1905'te Einstein tarafından tanıtıldı. Bu çalışma, çeşitli referans sistemlerinde meydana gelen olayların tanımlanmasına, manyetik ve elektromanyetik alanların, parçacıkların ve nesnelerin ışık hızına mümkün olduğunca yakın hareket ettiklerinde davranışlarına ayrılmıştır. Büyük fizikçi, zaman ve uzayın özelliklerini tanımladı ve ayrıca diğer parametrelerin davranışlarını, fiziksel cisimlerin boyutlarını ve kütlelerini belirtilen koşullar altında inceledi. Einstein, temel ilkeler arasında herhangi bir eylemsiz referans çerçevesinin eşitliğini adlandırdı, yani bunlarda meydana gelen süreçlerin benzerliğini kastetti. Göreli mekaniğin bir diğer varsayımı, klasik olmayan yeni bir versiyonda hızların eklenmesi yasasıdır.

Bu teoriye göre uzay, diğer her şeyin işlev gördüğü boşluk olarak temsil edilir. Zaman, devam eden süreç ve olayların belirli bir kronolojisi olarak tanımlanır. Aynı zamanda ilk kez uzayın dördüncü boyutu olarak adlandırılmış, artık “uzay-zaman” adını da almıştır.

Lorentz dönüşümleri

Lorentz dönüşüm oranlarının göreli toplama yasası doğrulandı. Bu, aşağıda son halleriyle sunulan matematiksel formüllerin alışılmış adıdır.

Bu matematiksel ilişkiler görelilik teorisinin merkezinde yer alır ve dörtlü uzay-zaman için yazılan koordinatları ve zamanı dönüştürmeye hizmet eder. Sunulan formüller, görelilik teorisi için matematiksel aparat geliştirirken Lorentz'den bazı fikirler ödünç alan Henri Poincaré'nin önerisiyle bu adı almıştır.

Bu tür formüller, yalnızca ses ötesi engeli aşmanın imkansızlığını değil, aynı zamanda nedensellik ilkesinin dokunulmazlığını da kanıtlıyor. Onlara göre, ultra yüksek hızların dünyasında meydana gelen zaman genişlemesini, nesnelerin uzunluklarını kısaltmayı ve diğer mucizeleri matematiksel olarak doğrulamak mümkün hale geldi.