წრიული მოძრაობა. ერთიანი მოძრაობა წრეში წერტილის მოძრაობა წრეში მოძრაობის მახასიათებლები

ვინაიდან წრფივი სიჩქარე ერთნაირად იცვლის მიმართულებას, წრიულ მოძრაობას არ შეიძლება ეწოდოს ერთგვაროვანი, ის ერთნაირად აჩქარებულია.

კუთხური სიჩქარე

ავირჩიოთ წერტილი წრეზე 1 . ავაშენოთ რადიუსი. დროის ერთეულში წერტილი გადავა წერტილზე 2 . ამ შემთხვევაში რადიუსი აღწერს კუთხეს. კუთხური სიჩქარე რიცხობრივად უდრის რადიუსის ბრუნვის კუთხეს დროის ერთეულზე.

პერიოდი და სიხშირე

როტაციის პერიოდი თ- ეს ის დროა, რომლის დროსაც სხეული აკეთებს ერთ რევოლუციას.

ბრუნვის სიხშირე არის რევოლუციების რაოდენობა წამში.

სიხშირე და პერიოდი ურთიერთდაკავშირებულია ურთიერთობით

კავშირი კუთხურ სიჩქარესთან

ხაზოვანი სიჩქარე

წრის თითოეული წერტილი მოძრაობს გარკვეული სიჩქარით. ამ სიჩქარეს წრფივი ეწოდება. წრფივი სიჩქარის ვექტორის მიმართულება ყოველთვის ემთხვევა წრის ტანგენტს.მაგალითად, საფქვავი მანქანის ქვეშ მყოფი ნაპერწკლები მოძრაობს, იმეორებს მყისიერი სიჩქარის მიმართულებას.

განვიხილოთ წერტილი წრეზე, რომელიც აკეთებს ერთ რევოლუციას, გატარებული დრო არის პერიოდი თ. გზა, რომელსაც წერტილი გადის, არის წრეწირი.

ცენტრიდანული აჩქარება

წრეში მოძრაობისას აჩქარების ვექტორი ყოველთვის პერპენდიკულარულია სიჩქარის ვექტორზე, მიმართული წრის ცენტრისკენ.

წინა ფორმულების გამოყენებით, შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი ურთიერთობები

წრის ცენტრიდან გამომავალი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე განლაგებულ წერტილებს (მაგალითად, ეს შეიძლება იყოს წერტილები, რომლებიც მდებარეობს ბორბლის სპიკებზე) ექნება იგივე კუთხური სიჩქარე, პერიოდი და სიხშირე. ანუ, ისინი ბრუნავენ იმავე გზით, მაგრამ განსხვავებული ხაზოვანი სიჩქარით. რაც უფრო შორს არის წერტილი ცენტრიდან, მით უფრო სწრაფად მოძრაობს იგი.

სიჩქარის დამატების კანონი ასევე მოქმედებს ბრუნვის მოძრაობისთვის. თუ სხეულის ან ათვლის სისტემის მოძრაობა არ არის ერთგვაროვანი, მაშინ კანონი ვრცელდება მყისიერ სიჩქარეებზე. მაგალითად, მბრუნავი კარუსელის კიდეზე მოსიარულე ადამიანის სიჩქარე უდრის კარუსელის კიდის ბრუნვის წრფივი სიჩქარისა და ადამიანის სიჩქარის ვექტორულ ჯამს.

დედამიწა მონაწილეობს ორ ძირითად ბრუნვის მოძრაობაში: დღიური (მისი ღერძის გარშემო) და ორბიტალური (მზის გარშემო). დედამიწის ბრუნვის პერიოდი მზის გარშემო არის 1 წელი ან 365 დღე. დედამიწა ბრუნავს თავისი ღერძის გარშემო დასავლეთიდან აღმოსავლეთისკენ, ამ ბრუნვის პერიოდი 1 დღე ან 24 საათია. გრძედი არის კუთხე ეკვატორის სიბრტყესა და მიმართულებას შორის დედამიწის ცენტრიდან მის ზედაპირზე არსებულ წერტილამდე.

ნიუტონის მეორე კანონის თანახმად, ნებისმიერი აჩქარების მიზეზი არის ძალა. თუ მოძრავი სხეული განიცდის ცენტრიდანული აჩქარებას, მაშინ ამ აჩქარების გამომწვევი ძალების ბუნება შეიძლება განსხვავებული იყოს. მაგალითად, თუ სხეული წრეში მოძრაობს მასზე მიბმულ თოკზე, მაშინ მოქმედი ძალა არის დრეკადი ძალა.

თუ დისკზე მწოლიარე სხეული ბრუნავს დისკთან ერთად მისი ღერძის გარშემო, მაშინ ასეთი ძალა არის ხახუნის ძალა. თუ ძალა შეწყვეტს მოქმედებას, მაშინ სხეული გააგრძელებს მოძრაობას სწორი ხაზით

განვიხილოთ წერტილის მოძრაობა წრეზე A-დან B-მდე. წრფივი სიჩქარე უდრის vAდა v Bშესაბამისად. აჩქარება არის სიჩქარის ცვლილება დროის ერთეულზე. ვიპოვოთ განსხვავება ვექტორებს შორის.

წრიული მოძრაობა არის სხეულის მრუდი მოძრაობის უმარტივესი შემთხვევა. როდესაც სხეული მოძრაობს გარკვეული წერტილის გარშემო, გადაადგილების ვექტორთან ერთად, მოსახერხებელია შეიყვანოთ კუთხოვანი გადაადგილება ∆ φ (ბრუნის კუთხე წრის ცენტრთან მიმართებაში), რომელიც იზომება რადიანებში.

კუთხოვანი გადაადგილების ცოდნა, შეგიძლიათ გამოთვალოთ წრიული რკალის (ბილიკის) სიგრძე, რომელიც სხეულმა გაიარა.

∆ l = R ∆ φ

თუ ბრუნვის კუთხე მცირეა, მაშინ ∆ l ≈ ∆ s.

მოდი ილუსტრაციულად ვაჩვენოთ ნათქვამი:

კუთხური სიჩქარე

მრუდი მოძრაობით შემოდის კუთხური სიჩქარის კონცეფცია ω, ანუ ბრუნვის კუთხის ცვლილების სიჩქარე.

განმარტება. კუთხური სიჩქარე

კუთხური სიჩქარე ტრაექტორიის მოცემულ წერტილში არის კუთხური გადაადგილების ∆ φ შეფარდების ზღვარი ∆ t დროის ინტერვალთან, რომლის დროსაც ის მოხდა. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t, ∆ t → 0.

კუთხური სიჩქარის საზომი ერთეულია რადიანი წამში (r a d s).

წრეში მოძრაობისას სხეულის კუთხური და წრფივი სიჩქარის კავშირი არსებობს. კუთხური სიჩქარის პოვნის ფორმულა:

წრეში ერთიანი მოძრაობით, v და ω სიჩქარეები უცვლელი რჩება. იცვლება მხოლოდ წრფივი სიჩქარის ვექტორის მიმართულება.

ამ შემთხვევაში, წრეში ერთგვაროვანი მოძრაობა გავლენას ახდენს სხეულზე ცენტრიდანული, ანუ ნორმალური აჩქარებით, რომელიც მიმართულია წრის რადიუსის გასწვრივ მის ცენტრამდე.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

ცენტრიდანული აჩქარების მოდული შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

a n = v 2 R = ω 2 R

მოდით დავამტკიცოთ ეს ურთიერთობები.

განვიხილოთ, თუ როგორ იცვლება ვ → ვექტორი მოკლე დროში ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .

A და B წერტილებში სიჩქარის ვექტორი მიმართულია წრეზე ტანგენციალურად, ხოლო სიჩქარის მოდულები ორივე წერტილში ერთნაირია.

აჩქარების განმარტებით:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

მოდით შევხედოთ სურათს:

სამკუთხედები OAB და BCD მსგავსია. აქედან გამომდინარეობს, რომ O A B = B C C D.

თუ ∆ φ კუთხის მნიშვნელობა მცირეა, მანძილი A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. იმის გათვალისწინებით, რომ O A = R და C D = ∆ v ზემოთ განხილული მსგავსი სამკუთხედებისთვის, მივიღებთ:

R v ∆ t = v ∆ v ან ∆ v ∆ t = v 2 R

როდესაც ∆ φ → 0, ვექტორის მიმართულება ∆ v → = v B → - v A → უახლოვდება მიმართულებას წრის ცენტრისკენ. თუ დავუშვებთ, რომ ∆ t → 0, მივიღებთ:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R.

წრის გარშემო ერთიანი მოძრაობით, აჩქარების მოდული რჩება მუდმივი და ვექტორის მიმართულება იცვლება დროთა განმავლობაში, ინარჩუნებს ორიენტაციას წრის ცენტრში. ამიტომ ამ აჩქარებას ცენტრიპეტული ეწოდება: ვექტორი დროის ნებისმიერ მომენტში მიმართულია წრის ცენტრისკენ.

ცენტრიდანული აჩქარების ვექტორული ფორმით ჩაწერა ასე გამოიყურება:

a n → = - ω 2 R → .

აქ R → არის წერტილის რადიუსის ვექტორი წრეზე, რომლის საწყისიც ცენტრშია.

ზოგადად, წრეში მოძრაობისას აჩქარება შედგება ორი კომპონენტისგან - ნორმალური და ტანგენციალური.

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც სხეული არათანაბრად მოძრაობს წრის გარშემო. შემოვიღოთ ტანგენციალური (ტანგენციალური) აჩქარების ცნება. მისი მიმართულება ემთხვევა სხეულის წრფივი სიჩქარის მიმართულებას და წრის თითოეულ წერტილში მიმართულია მასზე ტანგენტით.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

აქ ∆ v τ = v 2 - v 1 - სიჩქარის მოდულის ცვლილება ∆ t ინტერვალზე

მთლიანი აჩქარების მიმართულება განისაზღვრება ნორმალური და ტანგენციალური აჩქარებების ვექტორული ჯამით.

წრიული მოძრაობა სიბრტყეში შეიძლება აღწერილი იყოს ორი კოორდინატის გამოყენებით: x და y. დროის ყოველ მომენტში, სხეულის სიჩქარე შეიძლება დაიყოს v x და v y კომპონენტებად.

თუ მოძრაობა ერთგვაროვანია, v x და v y სიდიდეები, ისევე როგორც შესაბამისი კოორდინატები, დროში შეიცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით T = 2 π R v = 2 π ω პერიოდით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

წრიული მოძრაობა არის მრუდი მოძრაობის განსაკუთრებული შემთხვევა. სხეულის სიჩქარე მრუდი ტრაექტორიის ნებისმიერ წერტილში მიმართულია მასზე ტანგენციალურად (ნახ. 2.1). ამ შემთხვევაში, სიჩქარე, როგორც ვექტორი, შეიძლება შეიცვალოს როგორც სიდიდის (მაგნიტუდის) ასევე მიმართულებით. თუ სიჩქარის მოდული უცვლელი რჩება, მერე ვსაუბრობთ ერთგვაროვანი მრუდი მოძრაობა.

ნება მიეცით სხეულს მოძრაობდეს წრეში მუდმივი სიჩქარით 1 წერტილიდან 2 წერტილამდე.

ამ შემთხვევაში სხეული გაივლის გზას, რომელიც ტოლია რკალი ℓ 12 სიგრძისა 1 და 2 წერტილებს შორის t დროში. ამავე დროს, რადიუსის ვექტორი R, რომელიც გამოყვანილია წრის ცენტრიდან 0 წერტილამდე, ბრუნავს Δφ კუთხით.

სიჩქარის ვექტორი მე-2 წერტილში განსხვავდება 1 წერტილის სიჩქარის ვექტორისგან მიმართულებაΔV მნიშვნელობით:

;

სიჩქარის ვექტორის ცვლილების δv მნიშვნელობით დასახასიათებლად, შემოგვაქვს აჩქარება:

(2.4)

ვექტორი Rк რადიუსის გასწვრივ მიმართული ტრაექტორიის ნებისმიერ წერტილში ცენტრიწრე V 2 სიჩქარის ვექტორზე პერპენდიკულარული. ამიტომ აჩქარება , რომელიც ახასიათებს სიჩქარის ცვლილებას მრუდი მოძრაობის დროს მიმართულებით ეწოდება ცენტრიდანული ან ნორმალური. ამრიგად, წერტილის მოძრაობა წრის გასწვრივ მუდმივი აბსოლუტური სიჩქარით არის აჩქარდა.

თუ სიჩქარე იცვლება არა მხოლოდ მიმართულებაში, არამედ მოდულში (მაგნიტუდაში), შემდეგ ნორმალური აჩქარების გარდა ისინიც წარმოადგენენ ტანგენტი (ტანგენციალური)აჩქარება , რომელიც ახასიათებს სიჩქარის ცვლილებას სიდიდეში:

ან

მიმართული ვექტორი ტანგენტის გასწვრივ ტრაექტორიის ნებისმიერ წერტილში (ე.ი. ემთხვევა ვექტორის მიმართულებას ). კუთხე ვექტორებს შორის და უდრის 90 0-ს.

მრუდი ბილიკის გასწვრივ მოძრავი წერტილის ჯამური აჩქარება განისაზღვრება როგორც ვექტორული ჯამი (ნახ. 2.1.).

.

ვექტორული მოდული
.

კუთხური სიჩქარე და კუთხური აჩქარება

როდესაც მატერიალური წერტილი მოძრაობს გარშემოწერილობითრადიუსის ვექტორი R, გამოყვანილი O წრის ცენტრიდან წერტილამდე, ბრუნავს Δφ კუთხით (ნახ. 2.1). ბრუნვის დასახასიათებლად შემოტანილია კუთხური სიჩქარის ω და კუთხური აჩქარების ε ცნებები.

კუთხე φ შეიძლება გაიზომოს რადიანებში. 1 რადიუდრის კუთხეს, რომელიც ეყრდნობა რკალს ℓ წრის R რადიუსის, ე.ი.

ან ℓ 12 = რφ (2.5.)

მოდით განვასხვავოთ განტოლება (2.5.)

(2.6.)

მნიშვნელობა dℓ/dt=V მყისიერი. რაოდენობა ω =dφ/dt ეწოდება კუთხური სიჩქარე(იზომება რად/წმ-ში). მოდით მივიღოთ კავშირი წრფივ და კუთხურ სიჩქარეებს შორის:

რაოდენობა ω არის ვექტორი. ვექტორული მიმართულება განსაზღვრული ხრახნიანი წესი: ემთხვევა ხრახნის მოძრაობის მიმართულებას, რომელიც ორიენტირებულია წერტილის ან სხეულის ბრუნვის ღერძის გასწვრივ და ბრუნავს სხეულის ბრუნვის მიმართულებით (ნახ. 2.2), ე.ი.
.

კუთხოვანი აჩქარებაეწოდება კუთხური სიჩქარის ვექტორული სიდიდის წარმოებული (მყისიერი კუთხური აჩქარება)

, (2.8.)

ვექტორი ემთხვევა ბრუნვის ღერძს და მიმართულია იმავე მიმართულებით, როგორც ვექტორი , თუ ბრუნვა აჩქარებულია და საპირისპირო მიმართულებით, თუ ბრუნვა ნელია.

სიჩქარენსხეულები დროის ერთეულზე ეწოდებაროტაციის სიჩქარე .

დრო T სხეულის ერთი სრული ბრუნვისთვის ეწოდებაროტაციის პერიოდი . სადაცრაღწერს კუთხე Δφ=2π რადიანები

თან რომ თქვა

, (2.9)

განტოლება (2.8) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

(2.10)

შემდეგ აჩქარების ტანგენციალური კომპონენტი

და  =R(2.11)

ნორმალური აჩქარება a n შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

(2.7) და (2.9) გათვალისწინებით

(2.12)

შემდეგ სრული აჩქარება.

 მუდმივი კუთხური აჩქარებით ბრუნვის მოძრაობისთვის, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ კინემატიკური განტოლება ანალოგიით (2.1) - (2.3) განტოლებით მთარგმნელობითი მოძრაობისთვის:

,

.